河北省中考数学试题

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河北省中考数学试题

2007年河北省初中毕业生升学考试
数  学  试  卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共20分）
注意事项：1．答卷I前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 的相反数是（    ）
A．7 B．  C．  D． 
2．如图1，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（    ）
A．50° B．60°      C．140°      D．160°
3．据2007年5月27日中央电视台“朝闻天下”报道，-市目前汽车
拥有量约为3 100 000辆．则3 100 000用科学记数法表示为（    ）
A．0.31×107 B．31×105
C．3.1×105 D．3.1×106
4．如图2，某反比例函数的图像过点M（ ，1），则此反比例函数
  表达式为（    ）
A．  B．
C．  D．
5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（     ）
A．12 B．9 C．4 D．3
6．图3中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，
AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O
的半径为2，则BC的长为（    ）
A．2 B．1
C．1.5 D．0.5
7．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ）
A．  B．  
C．  D．
8．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均
有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三
个点图的点数之和均相等．
图4给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点
图是（    ）
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程
为20km．他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（-）之间
的函数图像如图5所示．根据图像信息，下列说-确的是（    ）
A．甲的速度是4 km/ - B．乙的速度是10 km/ -
C．乙比甲晚出发1 - D．甲比乙晚到B地3 -
10．用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．
图6-1—图6-4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．
那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（    ）
2007年河北省初中毕业生升学考试
数  学  试  卷
卷II（非选择题，共100分）
注意事项：1．答卷II前，将密封线左侧的项目填写清楚．
          2．答卷II时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．
题号 二 三
  19 20 21 22 23 24 25 26
得分
二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分．把答案
写在题中横线上）
11．计算： ＝　　　　　．
12．比较大小：7      ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
13．如图7，若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE＝90°，
则∠F ＝        °．
14．若 ，则 的值为          ．
15．图8中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有-标志，则随机翻动一块木牌-的概率为________．
16．如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那
么⊙A由图示位置需向右平移          个单位长．
17．已知 ，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，
a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为          ．
18．图10-1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图10-2的新几何体，则该新几何体的体积为          cm3．（计算结果保留 ）
三、解答题（本大题共8个小题；共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分7分）已知 ， ，求 的值．
20．（本小题满分7分）
某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/-（即 m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图11所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）请在图11中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；
（2）点B坐标为              ，点C坐标为              ；
（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否-行驶？（本小问中 ）
21．（本小题满分10分）
甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图12-1、图12-2的统计图．
（1）在图12-2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分 =90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分 ；
（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
22．（本小题满分8分）
如图13，已知二次函数 的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
23．（本小题满分10分）
在图14-1—14-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是          ；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
24．（本小题满分10分）
在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的
长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，
然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，
一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条
直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于
点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG
的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足
的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平
移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，
且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否
仍然成立？（不用说明理由）

25．（本小题满分12分）
一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号 A型 B型 C型
进  价（单位：元/部） 900 1200 1100
预售价（单位：元/部） 1200 1600 1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；
（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．
26．（本小题满分12分）
如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
2007年河北省初中毕业生升学考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．各地在阅卷过程中，如考生还有其它正确解法，可参照评分标准按步骤酌情给分．
2．坚持每题评阅到底的原则，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分．
3．解答右端所注分数，表示正确做到这一步应得的累加分数．只给整数分数．
一、选择题（每小题2分，共20分）
题  号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答  案 A C D B A B D C C B
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．a3； 12．＜； 13．45； 14．2007；
15． ； 16．4或6； 17．6； 18．60 ．
三、解答题（本大题共8个小题；共76分）
19．解：原式= ． …………………………………………………………………（5分）
当 时，原式=1． ………………………………………………（7分）
（注：本题若直接代入求值正确，也相应给分）
20．解：（1）如图1所示，射线为AC，点C为所求位置． ………………………（2分）
（2）（ ，0）；………………………（4分）
（100 ，0）；　　……………………………（5分）
（3） =270（m）．
（注：此处写“ 270”不扣分）
270÷15=18（m/s）．∵18＞ ，
∴这辆车在限速公路上-行驶了．　………（7分）
21. 解：（1）如图2；…………………………（2分）
（2） =90（分）；…………………（3分）
（3）甲队成绩的极差是18分，
乙队成绩的极差是30分；…………………（5分）
（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；
从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队
比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，
乙队胜两场，甲队成绩较好；
从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．…（9分）
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．……………………………………（10分）
22．解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得
 解得    …………………………（3分）
∴二次函数的表达式为 ． ………………………………（4分）
（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）． ………………………………（6分）
（3）将（m，m）代入 ，得  ，
解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去．
∴ m=6． …………………………………………………………………（7分）
∵点P与点Q关于对称轴 对称，
∴点Q到x轴的距离为6． ………………………………………………（8分）
23．实践探究（1）a2+b2； …………………………………………………………（2分）
（2）剪拼方法如图3—图5．（每图2分） ………………………（8分）
联想拓展  能； ……………………………………………………………………（9分）
剪拼方法如图6（图中BG=DH=b）． ………………………………（10分）
（注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均给分）
24．（1）BF=CG； ………………………………………………………………………（1分）
证明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG．……………………………………………（4分）
（2）DE+DF=CG；…………………………………（5分）
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图7）．……（6分）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG．∴∠GBC=∠HDC．
∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），∴DF=CH．
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG． ………………………………（9分）
（3）仍然成立． …………………………………………………………………（10分）
（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD）
25．解：（1）60-x-y； …………………………………………………………………（2分）
（2）由题意，得 900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，
整理得 y=2x-50． ………………………………………………………（5分）
（3）①由题意，得 P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，
整理得  P=500x+500． …………………………………………………（7分）
②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得
         解得  29≤x≤34．
∴ x范围为29≤x≤34，且x为整数．（注：不指出x为整数不扣分） …（10分）
∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元． ………（11分）
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部． ………（12分）
26．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C． ……………（1分）
此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30． ………………（2分）
（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50＋75－5t=3t，解得t= ．
经检验，当t= 时，有PQ∥DC．………（4分）
（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC•tanC=3t• =4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE = QE•QC=6t2； ………………………………………………………（6分）
②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
∴S= S梯形QCDE = (ED＋QC)DH =120 t－600． …………………………（8分）
（4）△PQE能成为直角三角形． ……………………………………………………（9分）
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠ 或t=35． …（12分）
（注：（4）问中没有答出t≠ 或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠ ．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠ 或t=35．

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